高数题一道,低手勿近用拉格朗日中值定理证明:当x>0时,xlnx≥x-1

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高数题一道,低手勿近
用拉格朗日中值定理证明:
当x>0时,xlnx≥x-1

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答案和解析

我来
当x大于1时则设f（x）=lnx, f'(x)=1/x
所以lnx=lnx-ln1=f'(x)(x-1)=1/ξ*(x-1) ξ在(1,x)间
所以lnx≥（x-1)/x即xlnx≥x-1
当x小于1时,设f（x）=lnx, f'(x)=1/x
所以-lnx=ln1-lnx=f'(x)(1-x)=1/ξ*(1-x) ξ在(x,1)间
所以-lnx小等于（1-x)/x即x>0时,xlnx≥x-1
所以当x>0时,xlnx≥x-1证明完毕

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