已知f(x)=|x-k|+|x-2k|(k>0).(1)当x属于R,k为常数时,求f(x)的最小值,并指出取到最小值时的x值;(2)当x属于N*时,且对任意的x,都有f(x)>=f(3)=f(4)都成立,试求k的取值范围.

Question

已知f(x)=|x-k|+|x-2k|(k>0).(1)当x属于R,k为常数时,求f(x)的最小值,并指出取到最小值时的x值;(2)当x属于N*时,且对任意的x,都有f(x)>=f(3)=f(4)都成立,试求k的取值范围.

Answer 1

f(x)=|x-k|+|x-2k|(k>0).
(1)当x属于R,k为常数时,
①0＜x＜k时,f(x)=-（x-k+x-2k）=-2x+3k f(x)＞k
②x＞2k时,f(x)=x-k+x-2k=-2x+3k f(x)＞k
③k≤x≤2k时,f(x)=﹙x-k﹚-﹙x-2k﹚=k
∴f(x)的最小值为k,f（x）取最小值时x∈[k,2k];
(2)当x属于N*时,且对任意的x,都有f(x)>=f(3)=f(4)都成立,
由f(3)=f(4)得,3 ∈[k,2k]; 4∈[k,2k];
∴1.5≤k≤3,且2≤k≤4
∴k∈[2,3]
且0＜x＜k或x＞2k时,f(x)＞k,即f(x)>=f(3)=f(4)都成立
故k的取值范围是k∈[2,3]