绝对值方程式X＾2＋5XY－5X－15Y＋6＝｜X-6Y｜满足正整数一对X,Y的值当中,求X是最小的偶数的值.这道问题最后要求的是X值和Y值是什么?最后的答案X=4,Y=6.

Question

绝对值方程式
X＾2＋5XY－5X－15Y＋6＝｜X-6Y｜满足正整数一对X,Y的值当中,求X是最小的偶数的值.
这道问题最后要求的是X值和Y值是什么?
最后的答案X=4,Y=6.

Answer 1

X＾2＋5XY－5X－15Y＋6=｜X-6Y｜
1.X-6Y≥0时
方程变为：X^2+5XY-6X-9Y+6=0
对比(x+a)(x+by+c)=x^2+bxy+(a+c)x+aby+ac的形式
令x、y项系数对应相等
b=5,a=-9/5,c=-21/5
方程变为(x-9/5)(x+5y-21/5)=39/25
即(5x-9)(5x+25y-21)=39=(±1)*(±39)=(±3)*(±13)
因为X、Y为正整数,均≥1
所以,5x+25y-21≥9（39的约数中满足条件的为39和13）
所以,5x-9=1或3,x是正整数,所以,x=2,
此时5x+25y-21=39,y=2
与x-6y≥0矛盾
所以,此时方程无正整数解
2.X-6Y＜0时
方程变为：X^2+5XY-4X-21Y+6=0
对比(x+a)(x+by+c)=x^2+bxy+(a+c)x+aby+ac的形式
令x、y项系数对应相等
b=5,a=-21/5,c=1/5
方程变为(x-21/5)(x+5y+1/5)=-171/25
即(5x-21)(5x+25y+1)=-171=(±1)*(±171)=(±3)*(±57)=(±9)*(±19)
因为X、Y为正整数,均≥1
所以,5x+25y+1≥31（171的约数中满足条件的为171和57）
所以,5x-21=-1或-3,x是正整数,所以,x=4
此时5x+25y+1=171,y=6
所以,符合条件的解为X=4,Y=6
（PS,根据以上分析,符合方程的正整数解仅有X=4,Y=6这一组,所以,个人觉得题目中“X是最小偶数”这个条件有些多余.）