已知函数f（x）=（x-k-1）ex（e为自然对数的底数，e≈2.71828，k∈R）．（1）当x>0时，求f（x）的单调区间和极值；（2）①若对于任意x∈[1，2]，都有f（x）<4x成立，求k的取值范围；②若x1

Question

已知函数f（x）=（x-k-1）e^x（e为自然对数的底数，e≈2.71828，k∈R）．
（1）当x>0时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）①若对于任意x∈[1，2]，都有f（x）<4x成立，求k的取值范围；
②若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明：x₁+x₂<2k．

Answer 1

（1）∵f'（x）=（x-k）e^x，x>0．
（i）当k<0时，f'（x）>0恒成立，
∴f（x） 的递增区间是（0，+∞），无递减区间；无极值．
（ii）当k>0 时，由f'（x）>0 得，x>k；由f'（x）<0 得，0∴f（x） 的递减区间是（0，k），递増区间是（k，+∞），
f（x）的极小值为f（k）=-e^k，无极大值．
（2） ①由f（x）<4x，可得（x-k-1）e^x-4x<0，所以k>x-1-(4x)/(ex)对任意x∈[1，2]恒成立，
记g(x)=x-1-(4x)/(ex)，则g′(x)=1-(4(1-x))/(ex)=(ex+4(x-1))/(ex)，
因为x∈[1，2]，所以g'（x）>0，即g（x） 在x∈[1，2]上单调递增，
故g(x)max=g(2)=1-(8)/(e2)=(e2-8)/(e2)．
所以实数k的取值范围为((e2-8)/(e2)，+∞)．
②证明：由已知f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），结合（1）可知，k>0，f（x） 在（-∞，k） 上单调递减，在（k，+∞） 上单调递增，又f（k+1）=0，x<k+1 时，f（x）<0．
不妨设x₁<k<x₂k，2k-x₁>k，故要证x₁+x₂x₂，
只要证f（2k-x₁）>f（x₂），
因f（x₁）=f（x₂），即证f（2k-x₁）>f（x₁）．
设 h（x）=f（2k-x）-f（x）=((-x+k-1)e2k)/(ex) -(x-k-1)ex (x<k)，
h′(x)=((x-k)e2k)/(ex)-(x-k)ex=((x-k)(e2k-e2x ))/(ex)，
∴当x<k 时，h'（x）<0，h（x）在（-∞，k）上单调递减，
∴x∈（-∞，k）时，h（x）>h（k）=-e^k+e^k=0，
故当x<k时，f（2k-x）>f（x），即f（2k-x₁）>f（x₁） 成立，
∴x₁+x₂<2k．