设n维列向量组a1,a2,---,as线性无关,则n维列向量组b1,b2,bs线性无关的充分必要条件为A,两个向量组等价.B,矩阵A=(a1,a2,an)与矩阵B=(b1,b2,bs)等价.为什么选B

Question

设n维列向量组a1,a2,---,as线性无关,则n维列向量组b1,b2,bs线性无关的充分必要条件为
A,两个向量组等价.B,矩阵A=(a1,a2,an)与矩阵B=(b1,b2,bs)等价.为什么选B

Answer 1

A 不对!
例如:
a1=(1,0,0),a2 =(0,1,0)
b1=(0,2,0),b2=(0,0,1)
两向量组都线性无关,但不等价,谁也不能表示谁
B正确.
因为A,B等价,即A可经初等变换化成B
初等变换不改变矩阵的秩,列秩也不变
所以A,B等价,相当于说 A,B 的列秩相等,即两个向量组的秩相同
故 r(B)=r(A)=s,所以b1,b2,bs线性无关
反之,两个向量组都线性无关,且含向量组个数相同
所以 r(A)=r(B)=s
故A,B 等价.