在平面直角坐标系内，二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4），直线y=x+1与二次函数的图象交于A、D两点，（1）求出二次函数的解析式以及D点的坐标

Question

在平面直角坐标系内，二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4），直线y=x+1与二次函数的图象交于A、D两点，
（1）求出二次函数的解析式以及D点的坐标；
（2）点P是直线AD上方抛物线上的一点，连结PB，交AD于点E，使(PE)/(BE)＝(4)/(5)，求出符合要求的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连结PD，
①直接写出PD与AD的关系

PD⊥AD，PD=(1)/(2)AD

PD⊥AD，PD=(1)/(2)AD

；
②点M是平面内一点，使△PDM∽△ADB，求符合要求的所有点M的坐标．

Answer 1

（1）∵二次函数y=ax²+bx+c图象经过A（-1，0），B（4，0），C（0，4），
∴

a−b+c＝0

16a+4b+c＝0

c＝4

，
解得

a＝−1

b＝3

c＝4

，
所以，二次函数的解析式为y=-x²+3x+4，
联立

y＝−x2+3x+4

y＝x+1

，
解得

x1＝−1

y1＝0

（为点A坐标），

x2＝3

y2＝4

，
所以，点D的坐标为（3，4）；

（2）设PF∥AD交x轴于F，
则(AF)/(AB)=(PE)/(BE)，
∵A（-1，0），B（4，0），
∴AB=4-（-1）=5，
∴(AF)/(5)=(4)/(5)，
解得AF=4，
∴OF=4+1=5，
点F的坐标为（-5，0），
易求直线PF的解析式为y=x+5，
联立

y＝−x2+3x+4

y＝x+5

，
解得

x＝1

y＝6

，
所以，点P的坐标为（1，6）；

（3）①设直线PD的解析式为y=kx+b，
则

k+b＝6

3k+b＝4

，
解得

k＝−1

b＝7

，
所以，直线PD的解析式为y=-x+7，
∴直线PD与x轴的负方向夹角为45°，
∵直线y=x+1与x轴的正方向夹角为45°，
∴PD⊥AD，PD=(1)/(2)AD；
②根据勾股定理，AD=√((3+1)2+42)=4√(2)，
∵P（1，6），D（3，4），
∴PD=√((1−3)2+(6−4)2)=2√(2)，
∵∠DAB=45°，PD与x轴负方向夹角为45°，
∴PM∥y轴或PM∥x轴，
∵△PDM∽△ADB，
∴(PM)/(AB)=(PD)/(AD)，
即(PM)/(5)=(2√(2))/(4√(2))，
解得PM=(5)/(2)，
①点M在PD下方时，PM∥y轴，点M的纵坐标为6-(5)/(2)=(7)/(2)，
此时，点M的坐标为M₁（1，(7)/(2)），
②点M在PD上方时，PM∥x轴，点M的横坐标为1+(5)/(2)=(7)/(2)，
此时，点M的坐标为M₂（(7)/(2)，6），
综上所述，点M的坐标为（1，(7)/(2)）或（(7)/(2)，6）时，△PDM∽△ADB．