如图，二次函数y=-ax2+2ax+c（a>0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，过A的直线y=kx+2k（k≠0）与这个二次函数图象交于另一点F，与其对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DE=EF．（1）求A点坐

Question

如图，二次函数y=-ax²+2ax+c（a>0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，过A的直线y=kx+2k（k≠0）与这个二次函数图象交于另一点F，与其对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DE=EF．

（1）求A点坐标；
（2）若△BDF的面积为12，求此二次函数的表达式；
（3）设二次函数图象顶点为P，连接PF，PC，若∠CPF=2∠DAB，求此二次函数的表达式．

Answer 1

（1）当y=0时，kx+2k=0，解得x=-2，则A（-2，0）；
（2）∵二次函数y=-ax²+2ax+c（a>0）的图象的对称轴为直线x=-(2a)/(2×(-a))=1，
∴B点坐标为（4，0），
把A（-2，0）代入y=-ax²+2ax+c得-4a-4a+c=0，
∴c=8a，
∴抛物线解析式为y=-ax²+2ax+8a，
∵DE=EF，
∴F点的横坐标为2，
∴F（2，8a），
把F（2，8a）代入y=kx+2k得8a=2k+2k，解得k=2a，
∴y=2ax+4a，
当x=0时，y=4a，则D（0，4a），
∵S_△BDF=S_△FAB-S_△DAB，
∴(1)/(2)•（4+2）•8a-(1)/(2)•（4+2）•4a=12，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+8；
（3）抛物线的解析式表示为y=-ax²+2ax+8a，D（0，4a），F（2，8a），
当x=0时，y=-ax²+2ax+8a=8a，则C（0，8a），
当x=1时，y=-ax²+2ax+8a=9a，则P（1，9a），
∵F（2，8a），C（0，8a），
∴CF∥x轴，E（1，8a），
∴△PCF为等腰三角形，
∴PE平分∠CPF，即∠CPF=2∠CPE，
∵∠CPF=2∠DAB，
∴∠DAB=∠CPE，
∴Rt△ADO∽Rt△PCE，
∴(AO)/(PE)=(OD)/(CE)，即(2)/(a)=(4a)/(1)，解得a=(√(2))/(2)或a=-(√(2))/(2)（舍去），
∴抛物线的解析式表示为y=-(√(2))/(2)x²+√(2)x+4√(2)．