（2013•临汾二模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，0）、C（1，33），将△OAC绕AC的中点G旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线y=ax2-23x经过点A，点D是抛物线的顶点．（1）求抛

Question

（2013•临汾二模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，0）、C（1，3√(3)），将△OAC绕AC的中点G旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线y=ax²-2√(3)x经过点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断点B是否在抛物线上；
（3）若点P是x轴上A点左边的一个动点，当以P、A、D为顶点的三角形与△OAB相似时，求出点P的坐标；
（4）若点M是y轴上的一个动点，要使△MAD的周长最小，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

（1）将A（2，0）代入y=ax²-2√(3)x得，
4a-4√(3)=0，
解得a=√(3)，
∴抛物线的解析式为y=√(3)x²-2√(3)x；

（2）由旋转知，四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=AO，
∵A（2，0）、C（1，3√(3)），
∴x_B=1+2=3，y_B=y_C=3√(3)，
∴B（3，3√(3)），
将B（3，3

作业帮用户 2017-09-27 举报

问题解析

（1）把点A的坐标代入抛物线解析式求出a的值，即可得解；
（2）先判断出四边形OABC是平行四边形，然后求出BC∥OA，BC=AO，再根据点A、C的坐标求出点B的横坐标与纵坐标，然后把点B的坐标代入抛物线进行验证即可；
（3）过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，根据抛物线解析式求出点D的坐标，然后解直角三角形求出∠BOE=∠DAF=60°，然后求出OA、AD、AB，再分①∠APD=∠OAB时△APD和△OAB相似，②∠APD=∠OBA时△APD和△OBA相似，分别利用相似三角形对应边成比例列式求出AP的长，再求出OP，然后写出点P的坐标即可；
（4）根据轴对称确定最短路线问题，确定出点A关于y轴的对称点A′的坐标，然后求出直线A′D与y轴的交点即为所求的点M．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，旋转的性质，平行四边形的对边平行且相等的性质，抛物线上点的坐标特征，相似三角形的性质，以及利用轴对称确定最短路线问题，（3）分情况讨论是难点．

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