Maxz=-5x1+5x2+13x3ST-x1+x2+3x3≤20——①12x1+4x2+10x3≤90——②x1,x2,x3≥0先用单纯形法求出最优解,然后分析在下列条件下,最优解分别有什么变化?（1）约束条件①的右端常数由20变为30；

Question

Max z=-5x1+5x2+13x3
ST
-x1+x2+3x3 ≤ 20 ——①
12x1+4x2+10x3 ≤ 90 ——②
x1,x2,x3 ≥ 0
先用单纯形法求出最优解,然后分析在下列条件下,最优解分别有什么变化?
（ 1 ）约束条件①的右端常数由 20 变为 30 ；
（ 2 ）约束条件②的右端常数由 90 变为 70 ；
（ 3 ）目标函数中的 x3 的系数由 13 变为 8 ；

Answer 1

郭敦顒回答：
∵x1,x2,x3 ≥ 0
又②－4①得,16x1－2x3≤10,∴8 x1－x3≤5 ③
∴0≤x3≤－（1/8）x1+5/8；0≤x1≤－x3+5.
∴（1/8）x1≤5,
0≤x1≤40；
∴x3≤5,
0≤x3≤5.
在8 x1－x3≤5中,
若x1=0,则x3≤5；若x3=0,则x1≤40.
把x1=0,x3=5代入①得,x2≤5；若代入②,则x2≤10.
以x1=40,x3=0代入①得,x2≤60；若代入②,则x2≤－390
但x2≥0,∴x1≠40,x2≤40－390/12=7.5,此时,x2=0.
以x1=7.5,x2=0代入①得,x3≤9.1667
以x1=7.5,x2=0代入②得,x3=0
∴以x1=0,x3=5,x2=5代入目标函数Max z得,
Max z=0+5×5+13×5=90.
在目标函数Max z中,x1的系数为负显然
以x1=7.5,x3=0,x2=0代入目标函数Max z得到的为负值,不可能是最优解,
用单纯形法求出最优解的解法蕴含在上述解题步骤中了.
约束条件的①②并非标准形式,用单纯形法转化为标准形式较为繁琐,从略.
（ 1 ）约束条件①的右端常数由 20 变为 30 ；
（ 2 ）约束条件②的右端常数由 90 变为 70 ；
（ 3 ）目标函数中的 x3 的系数由 13 变为 8 ；
原题变为
Max z=-5x1+5x2+8x3
ST
-x1+x2+3x3 ≤ 30 ——①
12x1+4x2+10x3 ≤70 ——②
x1,x2,x3 ≥ 0
又②－4①得,16x1－2x3≤－50,∴8 x1－x3≤－25 ③
在③式中,x1=0时,x3≥25；x3=0时,x1≤－3.125.
把x1=0,x3=25代入①得,x2≤－45,
但x2≥0,∴x3≠25,x3≤25-45/3=10；
把x1=0,x3=25代入②得,4x2≤－180
但x2≥0,∴x3≠25,x3≤25-180/10=7
∴x1=0,x3≤7,此时,x2=0.
x3=0时,x1≤－3.125,但x1≥0,∴x3≠0
把x1=0,x3≤7,x2=0代入目标函数Max z得,
Max z=0+0+8×7=56.
最优解的变化：
（1）基底变量,前者x1=0,x3=5,x2=5,后者x1=0,x3≤7,x2=0：
（2）目标函数Max z,前者Max z=90,后者Max z=56.