如图,在梯形ABCD中,CD∥AB,AD、BC的延长线相交于点E,AC、BD相交于点O,连结EO并延长交AB于点M,交CD于点N.1、如图1,如果AD=BC,求证:直线EM是线段AB的垂直平分线2、如果AD≠BC,那么线段AM与BM是否相等?

Question

如图,在梯形ABCD中,CD∥AB,AD、BC的延长线相交于点E,AC、BD相交于点O,连结EO并延长交AB于点M,交CD于点N.
1、如图1,如果AD=BC,求证:直线EM是线段AB的垂直平分线 2、如果AD≠BC,那么线段AM与BM是否相等?请说明理由.

Answer 1

（1）证明：∵AD=BC,CD平行AB,∴AC=BD,∠DAB=∠CBA,∴AE=BE.∴点E在线段AB的垂直平分线上.在△ABD和△BAC中,∵AB=AB,AD=BC,AC=BD,∴△ABD≌△BAC（SSS）.∴∠DBA=∠CAB ∴OA=OB ∴点O在线段AB的垂直平分线上 ∴直线EM是线段AB的垂直平分线
（2）相等.理由如下：
∵CD∥AB,∴△EDN∽△EAM,△ENC∽△EMB,△EDC∽△EAB.∴DN/AM=DE/AE,CN/BM=CE/BE,DE/AE=CE/BE∴DN/AM=CN/BM.∴BM/AM=CN/DN.∵CD∥AB,∴△OND∽△OMB,△ONC∽△OMA,△OCD∽△OAB.∴DN/BM=OD/OB,CN/AM=OC/OA∴DN/BM=CN/AM∴AM/BM=CN/DN.
∴BM/AM=AM/BM∴AM²=BM²∴AM=BM