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如图,过圆O外一点A分别作圆O的两条切线AB、AC,延长BA于点D,使DA=AB,直线CD交圆O于点E,AE交圆O于点F,交BC于点I,AC与DF交于点H.(Ⅰ)证明:A、D、C、F四点共圆.(Ⅱ)若HI∥DE,求证:
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如图,过圆O外一点A分别作圆O的两条切线AB、AC,延长BA于点D,使DA=AB,直线CD交圆O于点E,AE交圆O于点F,交BC于点I,AC与DF交于点H.
(Ⅰ)证明:A、D、C、F四点共圆.
(Ⅱ)若HI∥DE,求证:△BED为等腰直角三角形.
(Ⅰ)证明:A、D、C、F四点共圆.
(Ⅱ)若HI∥DE,求证:△BED为等腰直角三角形.
▼优质解答
答案和解析
证明:(Ⅰ)连接CF,由已知,在△BCD中,AB=AC=AD,
∴∠BCD=∠BCE=90°,
∴BE是圆O的直径.---------------------(2分)
∵∠CBE+∠DBC=90°,∠BDC+∠DBC=90°,
∴∠BDC=∠CBE.
∵∠CBE=∠CFE,
∴∠CFE=∠BDC,
∴A、D、C、F四点共圆.----------------------------------------------------(5分)
(Ⅱ)连接HI,BF,由(Ⅰ)A、D、C、F四点共圆.得∠ADF=∠ACF=∠FBC,
∵AC是圆O的切线,
∴∠ACF=∠CEF,
∵HI∥DE,
∴∠CEF=∠HIF=∠HCF,
∴H、C、I、F四点共圆.-----------------------------------------------------------(3分)
∴∠HDC=∠FHI=∠FCI=∠ABF,
∴∠ADC=∠DBC=∠CBE,
又BC⊥DE,
∴△BED为等腰直角三角形.--------------------------------------------------------(5分)
∴∠BCD=∠BCE=90°,
∴BE是圆O的直径.---------------------(2分)
∵∠CBE+∠DBC=90°,∠BDC+∠DBC=90°,
∴∠BDC=∠CBE.
∵∠CBE=∠CFE,
∴∠CFE=∠BDC,
∴A、D、C、F四点共圆.----------------------------------------------------(5分)
(Ⅱ)连接HI,BF,由(Ⅰ)A、D、C、F四点共圆.得∠ADF=∠ACF=∠FBC,
∵AC是圆O的切线,
∴∠ACF=∠CEF,
∵HI∥DE,
∴∠CEF=∠HIF=∠HCF,
∴H、C、I、F四点共圆.-----------------------------------------------------------(3分)
∴∠HDC=∠FHI=∠FCI=∠ABF,
∴∠ADC=∠DBC=∠CBE,
又BC⊥DE,
∴△BED为等腰直角三角形.--------------------------------------------------------(5分)
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