有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)甲、乙、丙

Question

有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
(3)男、女生分别排在一起；
(4)男女相间；
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．____

Answer 1

【分析】(1)这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，先排甲有6种，剩下的8个元素全排列有A₈⁸种，根据分步计数原理得到结果．
\n(2)先排甲、乙，再排其余7人，再根据分步计数原理得到结果．
\n(3)把男生和女生分别看成一个元素，两个元素进行排列，男生和女生内部还有一个全排列，
\n(4)先排4名男生有A₄⁴种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有A₅⁵种方法，根据分步计数原理得到结果．
\n(5)9人共有A₉⁹种排法，其中甲、乙、丙三人有A₃³种排法，因而在A₉⁹种排法中每A₃³种对应一种符合条件的排法，类似于平均分组．

(1)先排甲有6种，其余有A₈⁸种，
\n∴共有6•A₈⁸=241920种排法．
\n(2)先排甲、乙，再排其余7人，
\n共有A₂²•A₇⁷=10080种排法．
\n(3)把男生和女生分别看成一个元素，
\n男生和女生内部还有一个全排列，
\nA₂²•A₄⁴•A₅⁵=5760种．
\n(4)先排4名男生有A₄⁴种方法，
\n再将5名女生插在男生形成的5个空上有A₅⁵种方法，
\n故共有A₄⁴•A₅⁵=2880种排法．
\n(5)9人共有A₉⁹种排法，
\n其中甲、乙、丙三人有A₃³种排法，
\n因而在A₉⁹种排法中每A₃³种对应一种符合条件的排法，
\n故共有=60480种排法．

【点评】本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路．