如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P是边AB上的一个动点（不与点A、点B重合），点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线．（1）若点E

Question

如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P是边AB上的一个动点（不与点A、点B重合），点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线．

（1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？
（2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？
（3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，得到△QFP和△PCE，
∴△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，
∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．
∵点E平分线段PF，
∴EF=EP=PB．
∵AB=4，
∴PB=(4)/(3)，AP=(8)/(3)．
∵∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=180．
∴∠QPA+∠CPB=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠QPA=∠PCB，
∴△QAP∽△PBC，
∴(QA)/(PB)＝(AP)/(BC)，
∴(QA)/((4)/(3))＝((8)/(3))/(2)
∴QA=(16)/(9)； 
（2）由题意，得
EP-PF=2．
∴PB-AP=2，
∵AP+PB=4，
∴2BP=6，
∴BP=3，
∴AP=1．
由题意，得
PF-EP=2．
∴AP-PE=2，
∵AP+PB=4，
∴2AP=6，
∴AP=3，
故AP的长为1或3；
（3）①若CE与点A在同一直线上，则
△AEP∽△ABC
∴(AP)/(AC)＝(PE)/(BC)，
设AP=x，
∴(x)/(2√(5))=(4−x)/(2)
∴x=5-√(5)
②如图3，若CE与QE在同一直线上，则
∴EP=AP=BP，
∴2AP=4，
∴AP=2．