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已知偶函数y=f(x)在区间[-1,0]上是增函数,且满足f(1-x)+f(1+x)=0,下列判断中错误的是()A.f(5)=0B.函数f(x)在[1,2]上单调递减C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称D.函数
题目详情
已知偶函数y=f(x)在区间[-1,0]上是增函数,且满足f(1-x)+f(1+x)=0,下列判断中错误的是( )
A.f(5)=0
B.函数f(x)在[1,2]上单调递减
C.函数f(x)的图象关于直线 x=1对称
D.函数f(x)的周期是T=4
A.f(5)=0
B.函数f(x)在[1,2]上单调递减
C.函数f(x)的图象关于直线 x=1对称
D.函数f(x)的周期是T=4
▼优质解答
答案和解析
对于A,令x=0代入题中等式,得f(1-0)+f(1+0)=0
∴f(1)=0,结合函数为偶函数得f(-1)=f(1)=0
再令x=2代入题中等式,,得f(1-2)+f(1+2)=0,得f(3)=-f(-1)=0
结合函数为偶函数得f(-3)=f(3)=0
最后令x=4,f(1-4)+f(1+4)=0,得f(5)=-f(-3)=0,故A项正确;
对于B,因为偶函数y=f(x)图象关于y轴对称,在区间[-1,0]上是增函数,
所以y=f(x)在区间[0,1]上是减函数,
设F(x)=f(1+x),得F(-x)=f(1-x)
因为f(1-x)+f(1+x)=0,得f(1+x)=-f(1-x),
所以F(x)=f(1+x)是奇函数,图象关于原点对称.由此可得y=f(x)图象关于点(1,0)对称.
∵区间[1,2]和区间[0,1]是关于点(1,0)对称的区间,且在对称的区间上函数的单调性一致
∴函数f(x)在[1,2]上单调递减,故B项正确;
对于C,由B项的证明可知,y=f(x)图象关于点(1,0)对称,
若f(x)的图象同时关于直线 x=1对称,则f(x)=0恒成立,
这样与“在区间[-1,0]上f(x)是增函数”矛盾,故C不正确;
对于D,因为f(x)=f(1-(1-x))=-f(1+(1+x))=-f(x+2)
所以f(x+2)=-f(x+4),可得f(x+4)=f(x),函数f(x)的周期是T=4,D项正确
故选:C
∴f(1)=0,结合函数为偶函数得f(-1)=f(1)=0
再令x=2代入题中等式,,得f(1-2)+f(1+2)=0,得f(3)=-f(-1)=0
结合函数为偶函数得f(-3)=f(3)=0
最后令x=4,f(1-4)+f(1+4)=0,得f(5)=-f(-3)=0,故A项正确;
对于B,因为偶函数y=f(x)图象关于y轴对称,在区间[-1,0]上是增函数,
所以y=f(x)在区间[0,1]上是减函数,
设F(x)=f(1+x),得F(-x)=f(1-x)
因为f(1-x)+f(1+x)=0,得f(1+x)=-f(1-x),
所以F(x)=f(1+x)是奇函数,图象关于原点对称.由此可得y=f(x)图象关于点(1,0)对称.
∵区间[1,2]和区间[0,1]是关于点(1,0)对称的区间,且在对称的区间上函数的单调性一致
∴函数f(x)在[1,2]上单调递减,故B项正确;
对于C,由B项的证明可知,y=f(x)图象关于点(1,0)对称,
若f(x)的图象同时关于直线 x=1对称,则f(x)=0恒成立,
这样与“在区间[-1,0]上f(x)是增函数”矛盾,故C不正确;
对于D,因为f(x)=f(1-(1-x))=-f(1+(1+x))=-f(x+2)
所以f(x+2)=-f(x+4),可得f(x+4)=f(x),函数f(x)的周期是T=4,D项正确
故选:C
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