有20个数,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10.现在要排一个数列,使得1和1之间有1个数,2和2之间有两个数,3和3之间有3个数.以此类推到10和10之间有10个数.请问这样的数列存在否.请证明.

Question

有20个数,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10.现在要排一个数列,使得1和1之间有1个数,2和2之间有两个数,3和3之间有3个数.以此类推到10和10之间有10个数.请问这样的数列存在否.请证明.

Answer 1

此题无解. 设有1,1,2,2,3,3,……,n,n共2n个整数（n对整数）排成一行,使两个1之间有一个数,两个2之间有2个数,……两个n之间有n个数.
可以证明,当n为偶数,即n=2m,在m为奇数时无解；
　　　　　当n为奇数,即n=2m+1,在m为偶数（也就是m+1为奇数）时无解.
　　　　　综合起来,就是当１,２,３……,ｎ中,（不重复的）奇数的个数为奇数时无解.
简证如下：当２ｎ个整数排成一行时,各数占的位置必然奇偶各半,即ｎ奇ｎ偶.
设不重复的偶数个数为ａ,奇数为ｂ,ａ＋ｂ＝ｎ
偶数占位必然一奇一偶,所以ａ对偶数占着ａ个奇位和ａ个偶位.从而奇数所占的奇位和偶位相等,且ｂ奇ｂ偶.由于一对奇数必然同奇或同偶,所以要有ｂ个奇（偶）位,必须有ｂ／２对奇（偶）数,即２＊（ｂ／２）＝ｂ
当ｂ为奇数时,ｂ／２不是整数,即没有这样的奇数对适合条件,奇位的对数与偶位的对数不相等,即不可能是b奇b偶.
其它情况不好说.
希望我的回答你会满意,谢谢!