（2014•朝阳区二模）已知函数f（x）=e2x+1-ax+1，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x+ey+1=0垂直，求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设a＜2e3，当x∈[0，1]时

Question

（2014•朝阳区二模）已知函数f（x）=e^2x+1-ax+1，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x+ey+1=0垂直，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设a＜2e³，当x∈[0，1]时，都有f（x）≥1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

f′（x）=2e^2x+1-a，
（1）由题意知：f′（0）=2e-a=e，得a=e；
（2）当a≤0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在R上单调递增，
当a＞0时，由：f′（x）=2e^2x+1-a＞0，得x＞(1)/(2)ln(a)/(2)−(1)/(2)，
∴f（x）在((1)/(2)ln(a)/(2)−(1)/(2)，+∞)上单调递增，
由：f′（x）=2e^2x+1-a＜0，得x＜(1)/(2)ln(a)/(2)−(1)/(2)，
∴f（x）在（-∞，(1)/(2)ln(a)/(2)−(1)/(2)）上单调递减，
综上：当a≤0时，f（x）的单调递增为R，
当a＞0时，f（x）的单调递增为((1)/(2)ln(a)/(2)−(1)/(2)，+∞)，单调递减区间为（-∞，(1)/(2)ln(a)/(2)−(1)/(2)），
（3）由f（x）≥1得，e^2x+1≥ax，当x=0时，不等式成立，当x∈（0，1]时，a≤(e2x+1)/(x)，
令g(x)＝(e2x+1)/(x)，则g′(x)＝((2x−1)e2x+1)/(x2)，易知，当x＜(1)/(2)时g′（x）＜0，当x＞(1)/(2)时g′（x）＞0，
∴g（x）在(0，(1)/(2))上单调递减，在((1)/(2)，1)上单调递增，
∴g（x）的最小值为g((1)/(2))＝2e2，
∴a的取值范围为（-∞，2e²]．