设奇函数f（x）定义在（-π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f（π2）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（π6）sinx的解集为．

Question

设奇函数f（x）定义在（-π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f（(π)/(2)）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（(π)/(6)）sinx的解集为 ___ ．

Answer 1

设g（x）=(f(x))/(sinx)，
∴g′（x）=(f′(x)sinx-f(x)cosx)/(sin2x)，
∵f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的奇函数，
故g（-x）=(f(-x))/(sin((-x))=(f(x))/(sinx)=g（x）
∴g（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的偶函数．
∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上单调递减，
∴g（x）在（-π，0）上单调递增．
∵f（(π)/(2)）=0，
∴g（(π)/(2)）=(f((π)/(2)))/(sin(π)/(2))=0，
∵f（x）＜2f（(π)/(6)）sinx，
∴g（x）＜g（(π)/(6)），x∈（0，π），或g（x）＞g（-(π)/(6)），x∈（-π，0），
∴(π)/(6)＜x＜π，或-(π)/(6)＜x＜0．
故x的不等式f（x）＜2f（(π)/(6)）sinx的解集为（-(π)/(6)，0）∪（(π)/(6)，π）．
故答案为：（-(π)/(6)，0）∪（(π)/(6)，π）