已知a，b，c是正数，求证：a2ab2bc2c≥ab+ccc+bbc+a．

Question

已知a，b，c是正数，求证：a^2ab^2bc^2c≥a^b+cc^c+bb^c+a．

Answer 1

证明：∵a，b，c是正数，
∴a^2ab^2bc^2c、a^b+cb^c+a+c^a+b均为正数，
∴(a2ab2bc2c)/(ab+cbc+aca+b)
=a^a-ba^a-cb^b-cb^b-ac^c-ac^c-b
=((a)/(b))a-b((a)/(c))a-c((b)/(c))b-c，
∵a>b>c>0，
∴(a)/(b)、(a)/(c)、(b)/(c)均大于1，且a-b、a-c、b-c均为正数，
∴((a)/(b))a-b>1，((a)/(c))a-c>1，((b)/(c))b-c>1，
∴((a)/(b))a-b((a)/(c))a-c((b)/(c))b-c>1，
即a^2ab^2bc^2c>a^b+cb^c+ac^a+b．