已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0,a≠c）过点A（1,0）,顶点为B,且抛物线不经过第三象限．（1）使用a、c表示b；（2）判断点B所在象限,并说明理由；（3）若直线y2=2x+m经过点B,且于该抛物线交于另一点

Question

已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0,a≠c）过点A（1,0）,顶点为B,且抛物线不经过第三象
限．
（1）使用a、c表示b；
（2）判断点B所在象限,并说明理由；
（3）若直线y2=2x+m经过点B,且于该抛物线交于另一点C（c
a ,b+8）,求当x≥1时y1的取值范围．

Answer 1

因为y1不过第三像限,则抛物线开口向上,所以a>0
将点A代入y1中可得a+b+c=0.(1)
将点C代入y1中可得a(c/a)²+b(c/a)+c=b-8
整理可得c(a+b+c)=a(b+8)
由（1）得a+b+c=0,且a≠0,所以解得b=-8.(2)
又由（1）、（2）得c=8-a.(3)
因为B点为抛物线顶点,可得B（x1,y1）
x1=-b/2a=4/a,y1=a(x1)²+b(x1)+c=c-16/a
再联立（3）i消去c可得B（4/a,8-a-16/a）,C（8/a-1,0）
把点A、C代入y2中可得
8-a-16/a=2×(4/a)+m.(4)
0=2×(8/a-1)+m.(5)
联立（4）、（5）解得a=2,m=-6；或a=4,m=-2
将a代入（3）中可得a=2时,c=6；a=4时,c=4
因为a≠c,所以舍掉第二组解.
即a=2,c=6,m=-6.(6)
将（2）、（6）代入y1、y2中可得
y1=2x²-8x+6；y2=2x-6
对y1变形为
y1=2(x-2)²-2
当x≥1时,当且仅当x=2时有最小值ymin=-2
所以当x≥1,y1≥-2
综上可得,当x≥1,y1≥-2