f(x)在[a,b]上二阶可微,f(a)=f(b)=0,证任意x属于（a,b),一定存在ζ属于(a,b)使2f(x)=f``(ζ)(x-a)(x-b)f``(ζ）指的是函数在x=ζ处的二阶导数,等式右边是三个式子的乘积

Question

f(x)在[a,b]上二阶可微,f(a)=f(b)=0,证任意x属于（a,b),一定存在ζ属于(a,b)使2f(x)=f``(ζ)(x-a)(x-b)
f``(ζ）指的是函数在x=ζ处的二阶导数,等式右边是三个式子的乘积

Answer 1

为避免混淆, 改一下原题的符号: 对任意c ∈ (a,b), 存在ζ ∈ (a,b)使2f(c) = f"(ζ)(c-a)(c-b).
证明: 记t = f(c)/((c-a)(c-b)), 考虑g(x) = f(x)-t(x-a)(x-b).
则g(x)在[a,b]上二阶可导, 且g(a) = g(b) = g(c) = 0.
由Rolle定理, 存在α ∈ (a,c)使g'(α) = 0, 同理存在β ∈ (c,b)使g'(β) = 0.
又g'(x)在[α,β]上二阶可导, 且g'(α) = g'(β) = 0.
仍由Rolle定理, 存在ζ ∈ (α,β)使g"(ζ) = 0.
即得f"(ζ) = 2t = 2f(c)/((c-a)(c-b)), 也即2f(c) = f"(ζ)(c-a)(c-b).