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对于函数f(x),若存在区间M=[a,b](a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳固区间”.现有四个函数:①f(x)=ex;②f(x)=x3;③f(x)=sinx;④f(x)=x2-2x+2.
题目详情
对于函数f(x),若存在区间M=[a,b](a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳固区间”.现有四个函数:
①f(x)=ex;
②f(x)=x3;
③f(x)=sinx;
④f(x)=x2-2x+2.
其中存在“稳固区间”的函数有______.
①f(x)=ex;
②f(x)=x3;
③f(x)=sinx;
④f(x)=x2-2x+2.
其中存在“稳固区间”的函数有______.
▼优质解答
答案和解析
:①对于函数f(x)=ex 若存在“稳定区间”[a,b],由于函数是定义域内的增函数,故有ea=a,eb=b,
即方程ex=x有两个解,即y=ex和y=x的图象有两个交点,这与即y=ex和y=x的图象没有公共点相矛盾,
故①不存在“稳定区间”.
②对于f(x)=x3 存在“稳定区间”,如 x∈[0,1]时,f(x)=x3 ∈[0,1].
③对于函数f(x)=sinx,若正弦函数存在等值区间[a,b],则在区间[a,b]上有sina=a,sinb=b,由正弦函数的值域知道[a,b]⊆[-1,1],但在区间]⊆[-1,1]上仅有sin0=0,所以函数f(x)=sinx没有“稳固区间”.
对于④f(x)=x2-2x+2,存在“稳定区间”,如 x∈[1,2]时,f(x)∈[1,2].
故答案为:②④.
即方程ex=x有两个解,即y=ex和y=x的图象有两个交点,这与即y=ex和y=x的图象没有公共点相矛盾,
故①不存在“稳定区间”.
②对于f(x)=x3 存在“稳定区间”,如 x∈[0,1]时,f(x)=x3 ∈[0,1].
③对于函数f(x)=sinx,若正弦函数存在等值区间[a,b],则在区间[a,b]上有sina=a,sinb=b,由正弦函数的值域知道[a,b]⊆[-1,1],但在区间]⊆[-1,1]上仅有sin0=0,所以函数f(x)=sinx没有“稳固区间”.
对于④f(x)=x2-2x+2,存在“稳定区间”,如 x∈[1,2]时,f(x)∈[1,2].
故答案为:②④.
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