高中数学函数导数问题已知函数f(x)=2ae^x+1,g(x)=lnx-lna+1-ln2,其中a为>0的常数,函数f(x)的图像与坐标轴交点处的切线为l1,函数g(x)的图像与直线y=1交点处的切线为l2,且l1//l2.(1)若在闭区间[1,5]上存在x

Question

高中数学函数导数问题 已知函数f(x)=2ae^x+1,g(x)=lnx-lna+1-ln2,其中a为>0的常数,函数f(x)的图像与坐标轴交点处的切线为l1,函数g(x)的图像与直线y=1交点处的切线为l2,且l1//l2.(1)若在闭区间[1,5]上存在x,使不等式x-m>根x乘f(x)-根x成立,求实数m的范围.(2)对于函数f(x)和g(x)公共定义域内的任意实数x0,我们把|f(x0)-g(x0)|的值称为两函数在x0处的偏差,求证:函数f(x)和g(x)在其公共定义域内的所有偏差都>2.

Answer 1

（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0,2a+1）,
又f′（x）=2aex,∴f′（0）=2a,
函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a,1）,
又g′（x）=1/x
g′（2a）=1/2a
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由题意可知,2a=1/2a
,即a2=‍1/4
又a＞0,所以a=1/2
不等式x-m＞‍‍√x
f(x)-√x可化为m＜x-√x
f（x）+√x
即m＜x-√xex,令h（x）=x-√xex
则h′（x）=1-（1/2√x+√x)ex,
∵x＞0,∴1/2√x+√x≥√2
又x＞0时,ex＞1,∴（1/2√x+√x)ex＞1,故h′（x）＜0
∴h（x）在（0,+∞）上是减函数‍
即h（x）在[1,5]上是减函数
因此,在对任意的x∈[1,5],不等式x-m＞√xf(x)-√x成立,
只需m＜h（5）=5-只需m＜h（5）=5-√5e5,所以实数m的取值范围是（-∞,5-
-√5e5）
（Ⅱ）证明：y=f（x）和y=g（x）公共定义域为（0,+∞）,由（Ⅰ）可知a=
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,∴|f（x）-g（x）|=|ex-lnx|
令q（x）=ex-x-1,则q′（x）=ex-1＞0,
∴q（x）在（0,+∞）上是增函数
故q（x）＞q（0）=0,即ex-1＞x …①
令m（x）=lnx-x+1,则m′（x）=1/x-1
当x＞1时,m′（x）＜0；当0＜x＜1时,m′（x）＞0,
∴m（x）有最大值m（1）=0,因此lnx+1＜x…②
∴m（x）有最大值m（1）=0,因此lnx+1＜x…②
由①②得ex-1＞lnx+1,即ex-lnx＞2
又由①得ex＞x+1＞x
由②得lnx＜x-1＜x,∴ex＞lnx
∴|f（x）-g（x）|=ex-lnx＞2
故函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2
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