设{an}是公差d不为零的正项等差数列，Sn为其前n项的和，满足5S3-6S5=-105，a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设c∈N，c≥2，令bn＝|an2c−1−1|，Tn为数列{bn}的前n项的和，

Question

设{a_n}是公差d不为零的正项等差数列，S_n为其前n项的和，满足5S₃-6S₅=-105，a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c∈N，c≥2，令bn＝|(an)/(2c−1)−1|，T_n为数列{b_n}的前n项的和，若T_2c≤6，求c的值．

Answer 1

（1）∵S_n=na₁+(n(n−1)d)/(2)，
∴S₅=5a₁+10d，S₃=3a₁+3d
∴5S₃-6S₅=-（15a₁+45d）=-105
∴a₁+3d=7①
又a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
∴（a₅）²=a₂a₁₄，即（a₁+4d）2=（a₁+d）（a₁+13d）
∴d²=2a₁d，∵d≠0
∴d=2a₁，②
由①②得a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1
（2）bn＝|(an)/(2c−1)−1|=|(2(n−c))/(2c−1)|=(2|n−c|)/(2c−1)
当n≤c时，b_n=(2(c−n))/(2c−1)，当n≥c+1时，b_n=(2(n−c))/(2c−1)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_2c=（b₁+b₂+…+b_c）+（b_c+1+b_c+2+…+b_2c）=
=（(2(c−1))/(2c−1)+(2(c−2))/(2c−1)+…+(0)/(2c−1)）+（(2)/(2c−1)+(4)/(2c−1)+…+(2c)/(2c−1)）=(2c2)/(2c−1)
∵T_n≤6，∴(2c2)/(2c−1)≤6，
∴c²-6c+3≤0，解得3-√(6)≤c≤3+√(6)
∵c∈N，
∴c=2或c=3或c=4或c=5．