已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an（n∈N．）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=an+2anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）在第（2）问的条件下，若不等式（-1）nλ（4-Sn）≤1对任意的n∈N*

Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=2（n+1）a_n（n∈N．）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=(an+2)/(anan+1)，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）在第（2）问的条件下，若不等式（-1）ⁿλ（4-S_n）≤1对任意的n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=2（n+1）a_n（n∈N），
∴(an+1)/(n+1)=2•(an)/(n)，
∴数列{(an)/(n)}是等比数列，首项为1，公比为2．
∴(an)/(n)=2^n-1．
∴a_n=n•2^n-1．
（2）b_n=(an+2)/(anan+1)=((n+2)•2n+1)/(n•2n-1•(n+1)•2n)=4((1)/(n•2n-1)-(1)/((n+1)•2n))，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=4[(1-(1)/(2×2))+((1)/(2×2)-(1)/(3×22))+…+((1)/(n•2n-1)-(1)/((n+1)•2n))]
=4(1-(1)/((n+1)×2n))．
（3）不等式（-1）ⁿλ（4-S_n）≤1，化为：（-1）ⁿλ(4)/((n+1)×2n)≤1．
∴（-1）ⁿλ≤((n+1)×2n)/(4)．
不等式（-1）ⁿλ（4-S_n）≤1对任意的n∈N^*恒成立，
当n=2k（k∈N^*）时，化为λ≤((2k+1)×22k)/(4)的最小值，∴λ≤3．
当n=2k-1（k∈N^*）时，化为λ≥-(2k×22k-1)/(4)的最大值，∴λ≥-1．
综上可得：-1≤λ≤3．
∴λ的取值范围是[-1，3]．