圆心O点,弦长AC向量为5,弦长AB向量为3,O为三角形ABC内一点,求AO和BC的数量积

Question

圆心O点,弦长AC向量为5,弦长AB向量为3,O为三角形ABC内一点,求AO和BC的数量积

Answer 1

因为O是三角形的外心,所以AO^2=BO^2=CO^2.
所以
2BC*OA
= BC* 2OA
= BC*[(BA-BO) +(CA -CO)]
= BC*(BA+CA-BO-CO)
= BC *(BA+CA)- BC*(BO+CO)
=(BA+AC)*(BA+CA)-(BO+OC)(BO+CO)
=(BA-CA)*(BA+CA)-(BO-CO)(BO+CO)
=( BA^2-CA^2)-( BO^2-CO^2)
=( BA^2-CA^2)-0
=BA^2-CA^2
=9-25 （因为AB的长为3,AC的长为5,所以BA^2=9,CA^2=25）
=-16,
所以BC*OA=-8,
则AO*BC=8.