高三数学题已知P点是椭圆x^2/16+y^2/8=1(x不等于0,y不等于0)上的一动点,F1,F2为椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是角F1PF2的角平分线上的一点,且向量F1M与向量PM的数量积等于0,求向量OM的模（即长

Question

高三数学题
已知P点是椭圆x^2/16+y^2/8=1(x不等于0,y不等于0)上的一动点,F1,F2为椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是角F1PF2的角平分线上的一点,且向量F1M与向量PM的数量积等于0,求向量OM的模（即长度）.（要求有过程)

Answer 1

由于OM=PM-PO,我们试图用已知向量表达出PM和PO.
延长PF_2和F_1 M交于F（不妨假设PF_1>PF_2）,得到等腰三角形F_1PF.向量PF=|PF_1|/|PF_2|.PF_2,由于PM平分角P,所以M是F_1F的中点,于是向量PM=(1/2)(PF_1+PF)=(1/2)(PF_1+|PF_1|/|PF_2|.PF_2).
由于O是F_1F_2的中点,类似地PO=(1/2)(PF_1+PF_2).
所以|OM|=|PM-PO|=(1/2)|(|PF_1|-|PF_2||)||PF_2|/|PF_2|=(1/2)|(|PF_1|-|PF_2|)|.即P到两焦点的距离之差的一半.