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对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.(Ⅰ)已知函数f(x)=ax2+2x-4a(a∈R,a≠0),试判断f(x)是否为“局部奇函数”?并说明理
题目详情
对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.
(Ⅰ)已知函数f(x)=ax2+2x-4a(a∈R,a≠0),试判断f(x)是否为“局部奇函数”?并说明理由;
(Ⅱ)若f(x)=4x-m•2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
(Ⅰ)已知函数f(x)=ax2+2x-4a(a∈R,a≠0),试判断f(x)是否为“局部奇函数”?并说明理由;
(Ⅱ)若f(x)=4x-m•2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)若f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(-x)+f(x)=0有解.
当f(x)=ax2+2x-4a时,
由f(-x)+f(x)=0得2a(x2-4)=0
解得x=±2,
所以方程f(-x)+f(x)=0有解,
因此f(x)为“局部奇函数”.
(Ⅱ)当f(x)=4x-m•2x+1+m2-3时,f(-x)+f(x)=0可化为4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.
令t=2x+2-x,则t≥2,
则4x+4-x=t2-2,
从而t2-2mt+2m2-8=0在x≥2有解即可保证f(x)为“局部奇函数”.
令F(t)=t2-2mt+2m2-8,
1° 当F(2)≤0,t2-2mt+2m2-8=0在x≥2有解,
由F(2)≤0,即2m2-4m-4≤0,解得1-
≤m≤1+
,
2° 当F(2)>0时,t2-2mt+2m2-8=0在x≥2有解,等价于
,
解得1+
<m≤2
.
(说明:也可转化为t2-2mt+2m2-8=0的大根大于等于2求解)
综上,所求实数m的取值范围为1-
≤m≤2
.
当f(x)=ax2+2x-4a时,
由f(-x)+f(x)=0得2a(x2-4)=0
解得x=±2,
所以方程f(-x)+f(x)=0有解,
因此f(x)为“局部奇函数”.
(Ⅱ)当f(x)=4x-m•2x+1+m2-3时,f(-x)+f(x)=0可化为4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.
令t=2x+2-x,则t≥2,
则4x+4-x=t2-2,
从而t2-2mt+2m2-8=0在x≥2有解即可保证f(x)为“局部奇函数”.
令F(t)=t2-2mt+2m2-8,
1° 当F(2)≤0,t2-2mt+2m2-8=0在x≥2有解,
由F(2)≤0,即2m2-4m-4≤0,解得1-
3 |
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2° 当F(2)>0时,t2-2mt+2m2-8=0在x≥2有解,等价于
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解得1+
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(说明:也可转化为t2-2mt+2m2-8=0的大根大于等于2求解)
综上,所求实数m的取值范围为1-
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