如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），若直线AC与BD的斜率之积为-14，则椭圆的离心率为（）A．12B．22C．32

Question

如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），若直线AC与BD的斜率之积为-(1)/(4)，则椭圆的离心率为（　　）

A．(1)/(2)
B．(√(2))/(2)
C．(√(3))/(2)
D．(3)/(4)

Answer 1

设切线AC的方程为y=k₁（x-ma），
则

y＝k1(x−ma)

(bx)2+(ay)2＝(ab)2

，
消去y得（b²+a²k₁²）x²-2ma³k₁²x+m²a⁴k₁²-a²b²=0
由△=0，得k₁²=(b2)/(a2)•(1)/(m2−1)，同理k₂²=(b2)/(a2)•（m²-1）
∴k₁²•k₂²=(b4)/(a4)，
∵直线AC与BD的斜率之积为-(1)/(4)，
∴(b2)/(a2)=(1)/(4)，∴a=2b，c=√(3)b，
∴e=(√(3))/(2)．
故选：C．