设A为n阶方阵，求证A2=E⇔r（A-E）+r（A+E）=n．

Question

设A为n阶方阵，求证A²=E⇔r（A-E）+r（A+E）=n．

Answer 1

⇒）因为A²=E，所以（A+E）（A-E）=0，
所以r（A+E）+r（A-E）≤n．
又因为r（A+E）+r（A-E）≥r（（A+E）-（A+E））=r（2E）=r（E）=n，
所以r（A-E）+r（A+E）=n．
⇐）A属于特征值1的线性无关的特征向量个数，即（A-E）X=0的基础解系的个数为：m=n-r（A-E）个．
A属于特征值-1的线性无关的特征向量个数，即（A+E）X=0的基础解系的个数为：n-r（A+E）=r（A-E）个．
设A的属于特征值1的m个线性无关的特征向量为P₁，…，P_m，
设A的属于特征值-1的r（A-E）个线性无关的特征向量为P_m+1，…，P_m+r．
令P=（P₁，…，P_m+r）．
则利用特性向量的性质可得，
P^-1AP=

Em
	-Er

=B．
因此，
A=PBP^-1，
A²=（PBP^-1）（PBP^-1）=PB²P^-1=PEP^-1=E．