x的n次方加y的n次方一直加到z的n次方大于等于nxy…z

Question

x的n次方加y的n次方一直加到z的n次方大于等于nxy…z

Answer 1

用数学归纳法证明,需要一个辅助结论.　　引理：设A≥0,B≥0,则(A+B)^n≥A^n+nA^(n－1)B.　　注：引理的正确性较明显,条件A≥0,B≥0可以弱化为A≥0,A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法).　　原题等价于：((a1+a2+…+an )/n)^n≥a1a2…an.　　当n=2时易证； 　　假设当n=k时命题成立,即 　　((a1+a2+…+ak )/k)^k≥a1a2…ak.那么当n=k+1时,不妨设a(k+1)是a1,a2 ,…,a(k+1)中最大者,则 　　k a(k+1)≥a1+a2+…+ak.　　设s=a1+a2+…+ak,　　{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1) 　　={s/k+[k a(k+1)－s]/[k(k+1)]}^(k+1) 　　≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)－s]/k(k+1) 用引理 　　=(s/k)^k* a(k+1) 　　≥a1a2…a(k+1).用归纳假设 　　下面介绍个好理解的方法 　　琴生不等式法 　　琴生不等式：上凸函数f(x),x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点,　　则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 　　设f(x)=lnx,f(x)为上凸增函数 　　所以,ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)] 　　即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n) 　　在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）
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