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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC、BC的长恰好为方程x2-14x+a=0的两根,且AC-BC=2,D为AB的中点.(1)求a的值.(2)动点P从点A出发,沿A→D→C的路线向点C运动;点Q从点B出发,沿B→C的路线向点C
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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC、BC的长恰好为方程x2-14x+a=0的两根,且AC-BC=2,D为AB的中点.
(1)求a的值.
(2)动点P从点A出发,沿A→D→C的路线向点C运动;点Q从点B出发,沿B→C的路线向点C运动.若点P、Q同时出发,速度都为每秒2个单位,当点P经过点D时,点P速度变为每秒3单位,同时点Q速度变为每秒1个单位.当其中有一点到达终点时整个运动随之结束.设运动时间为t秒.在整个运动过程中,设△PCQ的面积为S,试求S与t之间的函数关系式;并指出自变量t的取值范围.
(1)求a的值.
(2)动点P从点A出发,沿A→D→C的路线向点C运动;点Q从点B出发,沿B→C的路线向点C运动.若点P、Q同时出发,速度都为每秒2个单位,当点P经过点D时,点P速度变为每秒3单位,同时点Q速度变为每秒1个单位.当其中有一点到达终点时整个运动随之结束.设运动时间为t秒.在整个运动过程中,设△PCQ的面积为S,试求S与t之间的函数关系式;并指出自变量t的取值范围.
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答案和解析
(1)∵AC、BC的长为方程x2-14x+a=0的两根,
∴AC+BC=14,
又∵AC-BC=2,
∴AC=8,BC=6,
∴a=8×6=48;
(2)作PH⊥BC,垂足为H,
∵∠ACB=90°,
∴AB=
=10.
又∵D为AB的中点,
∴CD=
AB=5.
当0<t≤2.5时,由PH∥AC得
=
,即
=
,
解得PH=
(10-2t),
S=
×CQ×PH=
(6-2t)×
(10-2t)=1.6t2-12.8t+24,
当2.5<t≤3.5时,
同理,得S=1.2t2-9.2t+17.5.
∴AC+BC=14,
又∵AC-BC=2,
∴AC=8,BC=6,
∴a=8×6=48;
(2)作PH⊥BC,垂足为H,
∵∠ACB=90°,
∴AB=
AC2+ BC2 |
又∵D为AB的中点,
∴CD=
1 |
2 |
当0<t≤2.5时,由PH∥AC得
PH |
AC |
PB |
AB |
PH |
8 |
10−2t |
10 |
解得PH=
4 |
5 |
S=
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
5 |
当2.5<t≤3.5时,
同理,得S=1.2t2-9.2t+17.5.
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