在公差不为零的等差数列{an}中，已知a1=l，．且a1，a2，a5依次成等比数列．数列{bn}满足bn+1=2bn-1且bn=3．（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{2an•an+1}的前n项和为Sn，试比较Sn与1一1bn的

Question

在公差不为零的等差数列{a_n}中，已知a₁=l，．且a₁，a₂，a₅依次成等比数列．数列{b_n}满足b_n+1=2b_n-1且b_n=3．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{(2)/(an•an+1)}的前n项和为S_n，试比较S_n与1一(1)/(bn)的大小．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁=1，且a₁，a₂，a₅依次成等比数列，
∴

a

2 2

＝a1•a5，即（1+d）²=1•（1+4d），
∴d²-2d=0，解得d=2（d=0不合要求，舍去）．
则a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵b_n+1=2b_n-1，
∴b_n+1-1=2（b_n-1）．
∴{b_n-1}是首项为b₁-1=2，公比为2的等比数列．
∴bn−1＝2•2n−1＝2n．
则bn＝2n+1；
（Ⅱ）∵(2)/(an•an+2)＝(2)/((2n−1)(2n+1))＝(1)/(2n−1)−(1)/(2n+1)．
∴Sn＝((1)/(1)−(1)/(3))+((1)/(3)−(1)/(5))+…+((1)/(2n−1)−(1)/(2n+1))＝1−(1)/(2n+1)，
于是Sn−(1−(1)/(bn))＝1−(1)/(2n+1)−1+(1)/(2n+1)＝(1)/(2n+1)−(1)/(2n+1)＝(2n−2n)/((2n+1)(2n+1))．
∴当n=1，2时，2n=2ⁿ，S_n=1−(1)/(bn)；
当n≥3时，2n＜2ⁿ，S_n＜1−(1)/(bn)．