我究竟错哪里了常微分方程求解dy/dx=2((y+2)/(x+y-1))^2我的解法如下两边求倒数2dx/dy=((y+2+x-3)/(y+2))^2=(1+(x-3)/(y+2))^2令z=(x-3)/(y+2)则x=z(y+2)+3dx/dy即x关于y求导得2(z+(y+2)dz/dy)=(1+z)^2分离变量得2dz/

Question

我究竟错哪里了 常微分方程求解
dy/dx=2((y+2)/(x+y-1))^2
我的解法如下
两边求倒数 2dx/dy=((y+2+x-3)/(y+2))^2=(1+(x-3)/(y+2))^2
令z=(x-3)/(y+2) 则 x=z(y+2)+3 dx/dy即x关于y求导 得 2(z+(y+2)dz/dy)=(1+z)^2 分离变量 得 2dz/(1+z^2)=dy/(y+2) 两边积分 得 2arctan((x-3)/(y+2))=ln|y+2|+c
整理得 y+2=ce^(2arctan(x-3)/(y+2)) 书上给出的答案是y+2=ce^(-2arctan(y+2)/(x-3))
究竟是为什么啊……………………

Answer 1

你没有错.只是那个常数的取法不一样而己.
注意,可以利用公式 arctan(1/x) + arctan(x) = π/2 把你的答案和标答化成相同形式.