如图1，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D、点E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在点C的运动过程中，△DOE中是否存

Question

如图1，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是

AB

上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D、点E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在点C的运动过程中，△DOE中是否存在长度保持不变的边或度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其长度或度数（只求一种即可）；如果不存在，请说明理由；
（3）作DF⊥OE于点F（如图2），当DF²+EF取得最大值时，求sin∠BOD的值．

Answer 1

（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，
∴BD=(1)/(2)BC=(1)/(2)．
又∵OB=2，
∴OD＝√(OB2−BD2)＝√(22−((1)/(2))2)＝(√(15))/(2)；
（2）存在，DE的长度是不变的．
如图1中的图1，连结AB，
                              图1
则AB＝√(OB2+OA2)＝2√(2)，
∵点D、点E分别是BC、AC的中点，
∴DE=(1)/(2)AB＝√(2)．
存在，∠DOE的度数是不变的．
如图2中的图1，连结OC，
                                        图2
可得∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠AOB=90°
∴∠2+∠3=45°即∠DOE=45°；
（3）
如图3中的图2，
                            图3
设EF=x，由（2）解法一，可知DE=√(2)
在Rt△DFE中，DF²=DE²-EF²=2-x²
∴DF ²+EF=-x²+x+2
∴当x＝(1)/(2)，即EF=(1)/(2)时，DF ²+EF取得最大值，
此时，DF=(√(7))/(2)
由（2）解法二，可知∠DOE=45°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=(√(14))/(2)
在Rt△BOD中，BD＝√(OB2−OD2)＝√(22−((√(14))/(2))2)＝(√(2))/(2)
∴sin∠BOD＝(BD)/(OB)＝((√(2))/(2))/(2)＝(√(2))/(4)．