如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE=∠DFE，DE交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．（1）求证：GE是⊙O的切线；（2）若tanC=13，

Question

如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE=∠DFE，DE交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．

（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若tanC=(1)/(3)，BE=4，求AG的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，如图，
∵∠1=∠2，
而∠2=∠3，
∴∠3=∠1，
∵OC⊥AB，
∴∠3+∠C=90°，
∴∠1+∠C=90°，
而OC=OD，
∴∠C=∠4，
∴∠1+∠4=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴GE是⊙O的切线；

（2） 设OF=x，则OC=3x，
∴BF=2x，
∵∠1=∠2，
∴ED=EF=2x+4，
在Rt△ODE中，
∵OD²+DE²=OE²，
∴（3x）²+（2x+4）²=（4+3x）²，解得x=2，
∴OD=6，DE=8，OE=10
又∵△AGE∽△DOE，
AE=16，
可得AG=12．