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某校要求学生在高中三年级选修3门课程,其中1门人文科学,2门自然科学,已知某学生通过人文科学课程的概率是45,通过自然科学课程的概率是34,且各门课程通过与否相互独立.(Ⅰ)求

题目详情
某校要求学生在高中三年级选修3门课程,其中1门人文科学,2门自然科学,已知某学生通过人文科学课程的概率是
4
5
,通过自然科学课程的概率是
3
4
,且各门课程通过与否相互独立.
(Ⅰ)求该学生只通过人文科学课程但没有通过自然科学课程的概率;
(Ⅱ)用ξ表示该学生所选的3门课程通过的门数,求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.
▼优质解答
答案和解析
(1)记“该同学只通过人文科学课程并没有通过自然科学课程“为事件A,则 P(A)=
4
5
×(1-
3
4
)2=
1
20

所以该同学只通过人文科学课程没有通过自然科学课程的概率为
1
20
.…(4分)
(Ⅱ)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=(1-
4
5
)×(1-
3
4
)2=
1
80

P(ξ=1)=
4
5
×(1-
3
4
)2+(1-
4
5
C
1
2
×(1-
3
4
3
4
=
1
8

P(ξ=2)=
4
5
×
C
1
2
×(1-
3
4
3
4
+(1-
4
5
)×(
3
4
)2=
33
80

P(ξ=3)=
4
5
×(
3
4
)2=
9
20
,…(9分)
所以ξ的分布列为
ξ0123
P
1
80
1
8
33
80
9
20
…(10分)
所以E(ξ)=0×
1
80
+1×
1
8
+2×
33
80
+3×
9
20
=
23
10
.…(12分)
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