（2014•红河州模拟）已知函数f（x）=12x2-alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最大值．

Question

（2014•红河州模拟）已知函数f（x）=(1)/(2)x²-alnx（a＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=(x2−a)/(x)，
由f（x）在x=2处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，则f′（2）=(3)/(2)，a=1，
此时f（x）=(1)/(2)x²-lnx，f′（x）=(x2−1)/(x)，
令f′（x）=0得x=1，
f′（x），f（x）的情况如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

所以f（x）单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）．      
（Ⅱ）由f′（x）=(x2−a)/(x)，a＞0及定义域为（0，+∞），
令f′（x）=0，得x=√(a)．
①若0＜√(a)≤1，即0＜a≤1时，在[1，e]上，f′（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）_max=f（e）=(e2)/(2)-a，
②若1＜√(a)＜e，即1＜a＜e²在（1，√(a)）上，
f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（√(a)，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
因此在[1，e]上，f（x）_max=max{f（1），f（e）}，
f（1）=(1)/(2)，f（e）=

作业帮用户 2016-11-18 举报