已知函数f（x）的定义域为R，若对于任意的实数x，y，都有f（x）+f（y）=f（x+y），且x>0时，有f（x）>0（1）判断并证明函数f（x）的单调性；（2）设f（1）=1，若f（x）<m2-2am+1对所有x∈[

Question

已知函数f（x）的定义域为R，若对于任意的实数x，y，都有f（x）+f（y）=f（x+y），且x>0时，有f（x）>0
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）设f（1）=1，若f（x）<m²-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）为单调递增函数，证明如下：
先证明f（x）是定义在R上的奇函数，令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），f（x）是定义在R上的奇函数．
设x₁2，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
当x>0时，有f（x）>0，所以f（x₂）>f（x₁），
故f（x）在R上为单调递增函数．
（2）由（1）知f（x）在[-1，1]上为单调递增函数，
所以f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=1，
所以要使f（x）2-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-2，2]恒成立，
只要m²-2am+1>1，即m²-2am>0恒成立，
令g（a）=m²-2am=-2am+m²，则

g(-2)>0

g(2)>0

即

4m+m2>0

-4m+m2>0

解得m>4或m<-4．
故实数m的取值范围是m>4或m<-4．