已知f(x)是定义在R上的函数,且对任意的x,y∈R,有f(x)+f(y)=2f(（x+y）/2)f(（x-y）/2)成立又知f(π/4)=0,但f(x)不恒为零,且f(0)>0.证明：f(x)为周期函数

Question

已知f(x)是定义在R上的函数,且对任意的x,y∈R,有f(x)+f(y)=2f( （x+y）/2 ) f( （x-y）/2 )成立
又知f(π/4)=0,但f(x)不恒为零,且f(0)>0.证明：f(x)为周期函数

Answer 1

这类题目用赋值法.
因为f(x)+f(y)=2f( （x+y）/2 ) f( （x-y）/2 )
把x换为x+π/2,y换为x可得：
f(x+π/2)+f(x)= 2f((2x+π/2)/2)f((π/2)/2)= 2f((2x+π/2)/2)f(π/4),
因为f(π/4)=0,
所以f(x+π/2)+f(x)= 0,
即f(x+π/2)=-f(x),
∴f(x+π)=- f(x+π/2)=f(x),
所以函数是周期为π的周期函数.