设函数f（x）=lnx-（a+1）x（a∈R）（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a>-1时，函数f（x）有最大值且最大值大于-2时，求a的取值范围．

Question

设函数f（x）=lnx-（a+1）x（a∈R）
（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a>-1时，函数f（x）有最大值且最大值大于-2时，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时，函数f（x）=lnx-x，定义域为（0，+∞），
f′（x）=(1-x)/(x)，
i）当0<x<1时，f′（x）>0，函数单调递增，
ii）当x>1时，f′（x）<0，函数单调递减；
综上所述：函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（2）函数f（x）=lnx-（a+1）x（a∈R）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=(1-(a+1)x)/(x)，
当a>-1时，a+1>0，令f′（x）=0，解得x=(1)/(a+1)，
i）当0<x<(1)/(a+1)时，f′（x）>0，函数单调递增，
ii）当x>(1)/(a+1)时，f′（x）<0，函数单调递减．
得：f（x）_max=f（(1)/(a+1)）=ln(1)/(a+1)-1>-2，
即ln（a+1）<1，
∴a+1<e，∴-1<a<e-1，
故a的取值范围为（-1，e-1）．