已知a,b是实数,函数f(x)=x2+ax+1,且y=f(x+1)在定义域上是偶函数,函数g(x)=-bf[f(x+1)]+(3b-1)+(x+1)+2在区间（-无穷大,-2）上是减函数,且在区间（-2,0）上是增函数,求a,b的值.

Question

已知a,b是实数,函数f(x)=x2+ax+1,且y=f(x+1)在定义域上是偶函数,函数g(x)=-bf[f(x+1)]+(3b-1)+(x+1)+2在区间（-无穷大,-2）上是减函数,且在区间（-2,0）上是增函数,求a,b的值.

Answer 1

因为y=f(x+1)在定义域上是偶函数,所以该函数关于y轴对称；且已知f(x)是二次函数,根据函数平移的概念：函数
f(x)向左平移一个单位之后关于Y轴对称,故f(x)本身关于直线x=1对称,解得a = -2
f(x+1) = x^2 ；f(x) = x^2 - 2x + 1 ；代入函数g(x)得：
g(x) = -bx^4 + 2bx^2 + x + 2b - 2 , 其定义域为全体实数,所以x = -2是极值点,因为极值点的导数为0,代入得：
-4b(-2)^3 + 4b(-2) + 1 = 0 ； b = -1/24