已知函数f（x）=aexx+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，-1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；

Question

已知函数f（x）=(aex)/(x)+x．
（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，-1），求a的值；
（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；
（2）设a>0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．

Answer 1

（1）∵f′(x)=(aex(x-1))/(x2)+1，f′（1）=1，f（1）=ae+1
∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y-（ae+1）=x-1，又直线过点（0，-1）
∴-1-（ae+1）=-1，解得：a=-(1)/(e)  …（2分）
（2）若a<0，∵f′(x)=(aex(x-1))/(x2)+1（x≠0），
当x∈（-∞，0）时，f′（x）>0恒成立，函数在（-∞，0）上无极值；
当x∈（0，1）时，f′（x）>0恒成立，函数在（0，1）上无极值；
在x∈（1，+∞）时，令H（x）=ae^x（x-1）+x²，则H′（x）=（ae^x+2）x，
∵x∈（1，+∞），∴e^x∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤-1，∴ae^x≤ae≤-e
∴ae^x+2<0，∴H′（x）<0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，
又H（1）=1>0，H（2）=ae²+4≤-e²+4<0∴∃x₀∈（1，2），使得H（x_0^）=0     …（5分）
且1<x<x₀时，H′（x）>0，即f′（x）>0；x>x₀时，H′（x）<0，即f′（x）<0；
∴f（x）在x₀处取得极大值f(x0)=(aex0)/(x0)+x0  （*）
又H（x₀）=ae^x₀（x₀-1）+x₀²=0，∴(aex0)/(x0)=-(x0)/(x0-1)代入（*）得：
f(x0)=-(x0)/(x0-1)+x0=(x0(x0-2))/(x0-1)<0，∴不存在负整数a满足条件． …（8分）
（3）设g（x）=ae^x（x-1）+x²，则g′（x）=（ae^x+2）x，
因为a>0，所以，当x>0时，g′（x）>0，g（x）单调递增；
当x<0时，g′（x）<0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点．
又g（0）=-a<0，g（1）=1>0，所以存在x₁∈（0，1），使g（x₁）=0
再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，
当x∈（0，x₁）时，g（x）<0，故f′（x）=(g(x))/(x2)<0，f（x）单调递减；
当x∈（x₂，+∞）时，g（x）>0，故故f′（x）=(g(x))/(x2)>0，f（x）单调递增；
所以函数f（x）在x₁处取得极小值． …（12分）
当x<0时，e^x<1，且x-1<0，
所以g（x）=ae^x（x-1）+x²>a（x-1）+x²=x²+ax-a，
函数y=x²+ax-a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）>0，又g（0）=-a<0，
故在（t，0）上存在x₂，使g（x₂）=0，
再由g（x）在（-∞，0）上单调递减知，
当x∈（-∞，x₂）时，g（x）>0，故f′（x）=(g(x))/(x2)>0，f（x）单调递增；
当x∈（x₂，0）时，g（x）<0，故f′（x）=(g(x))/(x2)<0，f（x）单调递减；
所以函数f（x）在x₂处取得极大值．
综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…（16分）