请分别用复合函数方法、换元法，证明函数y=x1−x+2在区间（-∞，0）上为增函数．

Question

请分别用复合函数方法、换元法，证明函数y=(x)/(1−x)+2在区间（-∞，0）上为增函数．

Answer 1

法一：复合函数法：函数y=(x)/(1−x)+2=(x−1+1)/(1−x)+2=-1-(1)/(x−1)+2=1-(1)/(x−1)，
在区间（-∞，0）上，∵y=(1)/(x−1) 是减函数，y=-(1)/(x−1) 是增函数，∴y=1-(1)/(x−1) 是增函数，
故函数y=(x)/(1−x)+2在区间（-∞，0）上为增函数．
法二：换元法，令t=x-1，∵x∈（-∞，0），∴t∈（-∞，-1），y=1-(1)/(t)．
由于y=1-(1)/(t) 在（-∞，-1）上是增函数，∴函数y=(x)/(1−x)+2在区间（-∞，0）上为增函数．