在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（3

Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
（3）求点N到平面ACM的距离．

Answer 1

（1）证明：依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．
又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD．
（2）由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，
则M是PD的中点，得AM=2√(2)，MC=√(MD2+CD2)=2√(3)，
则S_△ACM=(1)/(2)AM•MC=2√(6)．
设D到平面ACM的距离为h，由V_D-ACM=V_M-ACD，得2√(6)h=8，
解得h=(2√(6))/(3)，
设所求角为θ，则sinθ=(h)/(CD)=(√(6))/(3)．
（3）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥ABCD，
PA=AD=4，AB=2，
解得PC=6．因为AN⊥NC，
由(PN)/(PA)=(PA)/(PC)，得PN=(8)/(3)．所以NC：PC=5：9．
故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的(5)/(9)．
又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，
由（2）可知所求距离为(5)/(9)h=(10√(6))/(27)．