在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=根号6,点E是棱PB的中点（1）求直线AD与平面PBC在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=根号6,点E是棱PB的中点（1）求直线AD与平面PBC的

Question

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=根号6,点E是棱PB的中点（1）求直线AD与平面PBC
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=根号6,点E是棱PB的中点
（1）求直线AD与平面PBC的距离
（2）若AD=根号3,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值

Answer 1

：（1）在矩形ABCD中,AD∥BC,从而AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,
因PA⊥底面ABCD,故PA⊥AB,知△PAB为等腰直角三角形,
又点E是棱PB的中点,故AE⊥PB,又在矩形ABCD中,BC⊥AB,而AB是PB的底面ABCD内的射影,
由三垂线定理得BC⊥PB,从而BC⊥平面PAB,故BC⊥AE,从而AE⊥平面PBC,
故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离,
在Rt△PAB中,PA=AB=根号6,
所以AE=1/2PB=1/2根号(PA^2+AB^2)=根号3
（2）过点D作DF⊥CE,过点F做FG⊥CE,交AC于G,则∠DFG为所求的二面角的平面角．
由（1）知BC⊥平面PAB,又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,
故AD⊥AE,从而DE=根号(AE^2+AD^2) =根号6
在Rt△CBE中,CE=根号(BE^2+BC^2)=6,由CD=根号6,
所以△CDE为等边三角形,故F为CE的中点,且DF=CD•sinπ3=(3*根号2)/2
因为AE⊥平面PBC,故AE⊥CE,又FG⊥CE,知FG∥AE．且FG=1/2AE,
从而FG=(根号3)/2,且G点为AC的中点,连接DG,则在Rt△ADC中,
DG=1/2根号(AD^2+CD^2)=3/2,
所以cos∠DFG=(DF^2+FG^2-DG^2)/2DF•FG=(根号6)/3