四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.已知PB‖平面AE四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.已知PB‖平面AEC,设AP=1,AD=√3,三棱锥P-ABD的体积V=（√3）/4,求A到平面P

Question

四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.已知PB‖平面AE
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
已知PB‖平面AEC,设AP=1,AD=√3,三棱锥P-ABD的体积V=（√3）/4,求A到平面PBC的距离.

Answer 1

连接DB,交AC于O,连接OE,取AD中点为F,连接EF,OF
三棱锥P-ABD的体积V=三棱锥A-PBC的体积V=√3/4
三棱锥P-ABD的体积V=（√3）/4=1/2AB*AD*AP
AB=1/2
PA⊥平面ABCD
AB⊥BC
即,PB⊥BC
OE是中位线,OE//=1/2PB
PB=2OE
易知,EF⊥AD,OE=1/2AP=1/2,OF=1/2DC=1/4
OE^2=EF^2+OF^2=(1/2)^2+(1/4)^2=5/16
OE=√5/4
PB=2OE=√5/2
Spbc=1/2PB*BC=1/2*√5/2*√3=√15/4
三棱锥P-ABD的体积V=三棱锥A-PBC的体积V=√3/4
1/3*Spbc*H=√3/4
H=3√3/(4Spbc)=3√3/(4*√15/4)=3√5/5