如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点P在矩形的边DC上由D向C运动．沿直线AP翻折△ADP，形成如下四种情形．设DP=x，△ADP和矩形重叠部分（阴影）的面积为y．（1）如图丁，当点P运动到与C重合时，

Question

如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点P在矩形的边DC上由D向C运动．沿直线AP翻折△ADP，形成如下四种情形．设DP=x，△ADP和矩形重叠部分（阴影）的面积为y．

（1）如图丁，当点P运动到与C重合时，求重叠部分的面积y；
（2）如图乙，当点P运动到何处时，翻折△ADP后，点D恰好落在BC边上这时重叠部分的面积y等于多少？
（3）阅读材料：已知锐角α≠45°，tan2α是角2α的正切值，它可以用角α的正切值tanα来表示，即tan2α＝(2tanα)/(1−(tanα)2)（α≠45°）．根据上述阅读材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范围．
（提示：在图丙中可设∠DAP=a）

Answer 1

（1）由题意可得∠DAC=∠D′AC=∠ACE，∴AE=CE．
设AE=CE=m，则BE=10-m．
在Rt△ABE中，得m²=8²+（10-m）²，∴m=8.2．
∴重叠部分的面积y=(1)/(2)•CE•AB=(1)/(2)×8.2×8=32.8（平方单位）．
（另法：过E作EO⊥AC于O，由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO）．

（2）由题意可得△DAP≌△D′AP，
∴AD′=AD=10，PD′=DP=x．
在Rt△ABD′中，∵AB=8，∴BD′=√(102−82)=6，于是CD′=4．
在Rt△PCD′中，由x²=4²+（8-x）²，得x=5．
此时y=(1)/(2)•AD•DP=(1)/(2)×10×5=25（平方单位）．
表明当DP=5时，点D恰好落在BC边上，这时y=25．
（另法：由Rt△ABD′∽Rt△PCD′可求得DP）．

（3）由（2）知，DP=5是甲，丙两种情形的分界点．
当0≤x≤5时，由图甲知y=S_△ADP=S_△ADP=(1)/(2)•AD•DP=5x．
当5＜x＜8时，如图丙，设∠DAP=α，则∠AEB=2α，∠FPC=2α．
在Rt△ADP中，得tanα=(DP)/(AD)＝(x)/(10)．
根据阅读材料，即tan2α＝(2tanα)/(1−(tanα)2)，得出tan2α=(2•(x)/(10))/(1−((x)/(10))2)＝(20x)/(100−x2)．
在Rt△ABE中，有BE=AB∕tan2α=(8)/((20x)/(100−x2))=(2(100−x2))/(5x)．
同理，在Rt△PCF中，有CF=（8-x）tan2α=(20x(8−x))/(100−x2)．
∴S_△ABE=(1)/(2)•AB•BE=(1)/(2)×8×(2(100−x2))/(5x)=(8(100−x2))/(5x)．
S_△PCF=(1)/(2)•PC•CF=(1)/(2)（8-x）×(20x(8−x))/(100−x2)=(10x(8−x)2)/(100−x2)．
而S_梯形ABCP=(1)/(2)（PC+AB）×BC=(1)/(2)（8-x+8）×10=80-5x．
故重叠部分的面积y=S_梯形ABCP-S_△ABE-S_△PCF=80-5x-(8(100−x2))/(5x)-(10x(8−x)2)/(100−x2)．
经验证，当x=8时，y=32.8适合上式．
综上所述，当0≤x≤5时，y=5x；当5＜x≤8时，y=80-5x-(8(100−x2))/(5x)-(10x(8−x)2)/(100−x2)．