（2013•闵行区三模）已知：如图1，A、B是⊙O上两点，OA=5，AB=8，C是AB上任意一点，OC与弦AB相交于点D，过点C作CE⊥OB，交射线BO于点E，CE的延长线交⊙O于点F，联结BC、BF、OF．（1）如图2，当

Question

（2013•闵行区三模）已知：如图1，A、B是⊙O上两点，OA=5，AB=8，C是

AB

上任意一点，OC与弦AB相交于点D，过点C作CE⊥OB，交射线BO于点E，CE的延长线交⊙O于点F，联结BC、BF、OF．
（1）如图2，当点E是线段BO的中点时，求弦BF的长；
（2）当点E在线段BO上时，设AD=x，(S△BOD)/(S△BOC)，求y关于x的函数解析式，并写出这个函数的定义域；
（3）当CD=1时，求四边形OCBF的面积．

Answer 1

（1）∵点C，B，F在⊙O上，
∴OC=OB=OF=5，
∵CE⊥OB，点E是线段BO的中点，
∴EC=EF，OE=OB，
∴四边形OCBF是菱形，
∴△OBC是等边三角形，
∴BF=OC=5；

（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，
∵OA=OB，OH⊥AB，
∴AH=(1)/(2)AB=(1)/(2)×8=4，
在Rt△OAH中，利用勾股定理，得：
OH=√(OA2−AH2)=√(52−42)=3，
由AD=x，得BD=8-x，DH=|x-4|，
在Rt△ODH中，利用勾股定理，得：
OD=√(OH2+DH2)=√(9+(x−4)2)，
于是，△BOD与△BOC同高，
得：(S△BOD)/(S△BOC)=(OD)/(OC)=(√(9+(x−4)2))/(5)，
即得：y=

作业帮用户 2017-10-23 举报

问题解析

（1）先求出OC=OB=OF=5，再根据CE⊥OB，点E是线段BO的中点，得出EC=EF，OE=OB，则四边形OCBF是菱形，从而得出BF=OC=5；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，求出AH，再求出OH=√(OA2−AH2)=3，由AD=x，得BD=8-x，DH=|x-4|，利用勾股定理得OD=√(OH2+DH2)=√(9+(x−4)2)，再根据(S△BOD)/(S△BOC)=(OD)/(OC)得：y=(√(9+(x−4)2))/(5)；
（3）由CD=1，得OD=4，求出DH=√(OD2−OH2)=√(7)，BD=4-√(7)或4+√(7)，再证出△OBC≌△OBF，得出S_{四边形OCBF}=2S_△OBC，则当BD=4+√(7)时，S_△OBD=(1)/(2)BD•OH，
由CD=1，OD=4，得S_△OBC=(5)/(4)S_△OBD，S_{四边形OCBF}=2S_△OBC=(15)/(4)（4+√(7)）；当BD=4-√(7)时，同理可得：S_{四边形OCBF}=2S_△OBC=(15)/(4)（4-√(7)）．

名师点评

本题考点：

圆的综合题．

考点点评：

此题考查了圆的综合，用到的知识点是勾股定理、垂经定理、四边形三角形的面积、全等三角形的判定与性质，关键是做出辅助线，综合利用有关定理列出算式进行计算．

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