已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．（1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP=OQ；（2）如图乙，连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延

Question

已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．
（1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP=OQ；
（2）如图乙，连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S．若AD=4，∠DCB=60 °，BS=10，则AS= _________ ，OR= _________ ．

Answer 1

（1）证明：
∵ABCD为菱形
∴AD∥BC
∴∠OBP=∠ODQ
∵O是BD的中点
∴OB=OD
在△BOP和△DOQ中
∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ
∴△BOP≌△DOQ（ASA）
∴OP=OQ．

（2）如图，过A作AT?BC，与CB的延长线交于T

∵ABCD是菱形，∠DCB=60 °
∴AB=AD=4，∠ABT=60 °
∴AT=ABsin60 °= ，TB=ABcos60°=2
∵BS=10
∴TS=TB+BS=12
∴AS=
∵AD∥BS
∴△AOD∽△SOB
∴ ，则

∴AS=
∴OS= AS= ．
同理可得△ARD∽△SRC
∴
则
∴
∴
∴OR=OS﹣RS=