如图，点O是已知线段AB上一点，以OA为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段OB为直径的圆与⊙O的一个交点为D，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点M。（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若BC，BD

Question

如图，点O是已知线段AB上一点，以OA为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段OB为直径的圆与⊙O的一个交点为D，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点M。
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC，BD的长度是关于x的方程x ² -6x+8=0的两个根，求⊙O的半径；
（3）在上述条件下，求线段MD的长。

Answer 1

（1）连接OD， ∵OB是直径， ∴∠ODB=90°， ∴ ，且OD为⊙O的半径， ∴BD是圆的切线； （2）解方程 ，得 ， ∵BD，BC分别是上述方程的两个根，由图形可知BC<BD， 又∵BD，BCA分别是⊙O的切线和割线， ∴由切割线定理，得 ， 即 ， ∴AB=8 ∴半径 ； （3）∵ ， ∴∠A=90° 又∵∠ODB=90°， ∴∠ODB=∠A 在 与 中， ，且∠B是公共角， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 又∵ ，且AC为⊙O的直径， ∴MA与⊙O相切于点， 又∵MD与⊙O相切， ∴ 。